2025年昆明学院考研高等代数考试大纲核心知识

随着 2025 年昆明学院硕士研究生自命题科目考试大纲的发布，准备考研高等代数的考生们将目光紧紧锁定在大纲之上。大纲中的核心知识部分犹如知识宝库的钥匙，开启了考生们深入探索高等代数奥秘的大门。他们满怀期待地希望从大纲中挖掘出核心知识的精髓，了解这些知识在考试中的权重与考查形式。每一位考生都深知，掌握高等代数的核心知识是在考研中取得优异成绩的关键所在，因此他们对大纲的关注度很高，期望借此规划出复习路径，在高等代数的学习之路上少走弯路。

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《高等代数》考试大纲

一、考试性质

《高等代数》是基础数学专业、应用数学专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。《高等代数》考试要求能反映数学学科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。

二、考试要求

考查考生对《高等代数》里的基本概念、基础知识和基本方法的掌握情况，考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。

三、试卷分值、考试时间和答题方式

本科目试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

答题方式为闭卷、笔试。

四、试题结构

(1)试卷题型结构

填空题：30分

计算题：60分

证明题：60分

(2)内容结构

各部分内容所占分值为

一元多项式理论与行列式： 约30分

线性方程组： 约25分

矩阵： 约20分

二次型： 约25分

线性空间与线性变换理论： 约50分

五、考试的知识及范围

1、一元多项式

(1) 整除理论：整除的概念、性质与相关证明;最大公因式的概念、性质与求法(特别地辗转相除法);互素的概念、性质与判定。

(2) 因式分解理论：不可约多项式的概念与性质;因式分解唯一定理与标准分解式;重因式的概念与判定;实系数与复系数多项式的因式分解;有理系数多项式不可约的判定;

(3) 根的理论：多项式函数、多项式的根、重根的判定、代数学基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。

2、行列式

(1)n阶行列式的定义;

(2)n行列式的性质;

(3)n阶行列式的按一行(列)展开公式;

(4) 行列式的计算:利用行列式性质化为三角行列式和按行(列)展开公式降阶计算行列式;

(5) 行列式的计算方法与技巧：几类典型行列式(行和相等型、箭形、特殊三线型、范德蒙行列式等)的计算方法与技巧(递推法、加边法(升阶法)、数学归纳法、拉普拉斯定理等)。

3、线性方程组

(1)n维向量理论：线性组合与线性相关的相关概念、性质和判定;

(2) 矩阵的秩：矩阵的秩的概念和性质;

(3) 齐次线性方程组的解：有非零解的充要条件;解的性质;基础解系的性质与求解;

(4) 非齐次线性方程组的解：解的判定;解的结构;通解的求解。

4、矩阵

(1) 矩阵的运算: 矩阵的加法、数乘、乘法、转置等各种运算及其运算律;矩阵高次幂的计算方法;

(2) 逆矩阵：伴随矩阵的概念及相关性质;逆矩阵的概念、性质、判定与求法;逆矩阵的应用(求解矩阵方程等);

(3) 矩阵的初等变换：初等矩阵的概念与性质;矩阵的初等变换与初等矩阵的关系;矩阵的等价与等价标准形;

(4) 分块矩阵：分块矩阵的运算和性质;特殊分块矩阵(比如准对角阵)的行列式、高次幂以及逆的求解。

5、二次型

(1) 二次型矩阵：二次型矩阵的概念;二次型与对称阵的一一对应关系;

(2) 规范形：复系数的二次型的规范型;实系数的二次型的规范型;

(3) 化二次型为标准形的方法：配方法、合同变换法以及用正交线性替换化实二次型为标准形的方法;

(4) 正定二次型与正定矩阵：正定二次型与正定矩阵的判定与证明。

6、线性空间

(1) 线性空间的定义：线性空间的定义、简单性质与判定;

(2) 基与维数：线性空间基与维数的确定;基变换与坐标变换公式;

(3) 子空间的交与和：维数公式;子空间交与和的计算;直和的概念与等价条件;直和的相关证明;

(4) 线性空间的同构：线性空间同构的定义、性质和证明。

7、线性变换

(1) 线性变换的定义和运算：线性变换的定义、性质与判定;线性变换的加法、数乘和乘法运算;

(2) 线性变换的矩阵：线性变换的矩阵的概念与求法;同一线性变换在不同基下的矩阵的相似关系;

(3) 特征值与特征向量：线性变换和矩阵的特征值与特征向量的概念、性质和求法;

(4) 对角化理论;矩阵可对角化的判别条件;将矩阵相似对角化的方法;

(5) 空间直和分解理论：线性变换的值域与核的定义、性质和判定;不变子空间的定义、性质和判定。

8、λ-矩阵

(1)λ-矩阵的相关基本概念：行列式因子、不变因子、初等因子的概念、性质和求法;λ-矩阵的等价标准形;

(2) 矩阵的若当标准形的求法。

9、欧几里得空间

(1) 欧几里得空间的定义：内积的定义和判定;欧几里得空间的定义和性质;度量矩阵的定义、性质和求法;标准正交基的定义、性质和存在性定理;标准正交基的求法;施密特正交化方法;

(2) 正交变换与正交矩阵：正交变换的定义和性质;正交矩阵的定义与性质;

(3) 对称变换与对称矩阵：对称变换的定义和性质;

(4) 实对称阵与实反对称阵：实对称矩阵的性质、正交合同对角化方法;实反对称阵的性质。

参考书目：[1] 北京大学数学系前代数小组编 《高等代数》 第5版， 高等教育出版社， 2019.

既然高等代数考试大纲核心知识已呈现，考生们就应以此为依据构建复习框架。对核心知识进行详细分解，逐个击破。在学习过程中，注重知识的内在联系与逻辑推导，通过做练习题、分析错题等方式加深对核心知识的理解与运用。同时，不要忽视基础知识的巩固与拓展，以核心知识为中心，辐射到相关的知识点，形成完整的知识体系。合理安排复习时间，定期进行自我检测与评估，根据复习效果调整复习策略。以充足的准备和坚定的信心迎接考试，向着昆明学院的研究生学位努力拼搏。

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