2025昆明理工大学考研633微积分科目考试大纲剖析

在数学知识的攀登之路上，准备报考2025年昆明理工大学硕士研究生的考生们，对《633微积分》考试大纲充满了期待。微积分就像一座巍峨的数学高峰，导数、积分等概念构成了它崎岖的山路。考生们宛如登山者，迫切希望从大纲中挖掘出关键剖析，了解是侧重于复杂函数的微积分运算，还是理论证明的重点。大纲是他们登山的路线图，能指引他们在微积分的知识迷宫中找准复习方向，为他们攀登这座数学高峰带来希望和方向感。

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昆明理工大学硕士研究生入学考试《微积分》考试大纲

第一部分 考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构

极限论 约占20%

单变量微积分学 约占30%

多变量微积分学 约占30%

级数论 约占20%

四、试卷题型结构

计算题 证明题 综合题

合计150分。

第二部分 考察的知识及范围

一、极限论

(1)掌握数列极限，函数极限定义，会用数列极限、函数极限 的定义证明有关极限问题;掌握函数有界、无界的定义，并会用其证明给定函数在给定区间上的有界性、无界性;掌握实数集上、下确界的定义并会用确界原理处理相关问题。

(2)掌握收敛数列的性质及运算，掌握单调有界数列收敛定理、 迫敛性法则、柯西收敛原理、归结原则及应用;掌握函数极限的性质及运算，会用两个重要极限来处理极限问题。

(3)掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系;掌握无穷 小量阶的比较及其在极限计算中的应用。

(4)理解和掌握连续函数的定义和运算，解决有关函数连续性 问题;掌握不连续点的类型;掌握单侧极限的概念。

(5)掌握和应用闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有 界性、介值性、一致连续性);掌握初等函数的连续性，理解复合函数的连续性，反函数的连续性。

(6)掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯 西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。

(7)理解平面点集的基本概念，了解矩形套定理，致密性定理、 有限覆盖定理;掌握二元函数的极限，二次极限，连续性概念及计算; 掌握有界闭区域上多元连续函数的性质。

二、单变量微积分学

(1)理解和掌握导数与微分概念和几何意义;能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。

(2)理解可导性、连续性与可微性的关系;掌握导数的几何应用，微分在近似计算中的应用;掌握高阶导数的求法。

(3)掌握中值定理的内容、证明及其应用;能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限;掌握泰勒公式并能应用其解决近似计算、求极限等相关问题。

(4)掌握函数图形特征(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)的判定及描绘函数图形。

(5)掌握原函数和不定积分概念;熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来求函数的积分;会计算简单的无理函数的积分。

(6)理解定积分概念，掌握函数可积的条件;熟悉一些可积分 函数类;掌握定积分与可变上限积分的性质;能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算定积分。

(7)掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;掌握“微元法”。

(8)掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念; 能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。

(9)掌握含参变量定积分的性质及计算。

三、 多变量微积分学

(1)掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、高阶全微分等概念;了解多元函数可微、可导及连续的关系;掌握复合函数、 隐函数的求导法则、由方程(组)所确定的函数的求导法则。

(2)掌握隐函数的存在性定理;会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程;会求多元函数的极值(条件极 值和无条件极值)。

(3)掌握二重、三重积分的概念和性质;会计算重积分;会求图形的面积、体积。

(4)掌握两类曲线积分的概念及计算;掌握两类曲线积分的性质;掌握两类曲线积分的关系;掌握Green公式并会用其计算有关积 分。

(5)掌握两类曲面积分的概念及计算;掌握两类曲面积分的性质;掌握两类曲面积分之间的关系;掌握Gauss公式、Stokes公式并会用其计算有关积分。

四、级数论

(1)理解数项级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念; 掌握数项级数的基本性质;熟练应用正项级数敛散性判别法(比较判别法、比式判别法、根式判别法和积分判别法)与任意项级数的敛散 性判别法判断级数的敛散性;能熟练应用几何级数、调和级数与p级数的敛散性。

(2)掌握函数项级数(函数序列)收敛及一致收敛性概念;掌 握一致收敛级数的性质，能够比较熟练地运用判断一致收敛性的判别法(Cauchy收敛准则，Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法)判断函数项级数(函数序列)的一致收敛性。

(3)掌握幂级数、收敛半径、收敛域、和函数等概念;会求幂 级数的收敛半径和收敛域;掌握幂级数的性质并能求和函数;会把函数展开成幂级数。

(4)掌握三角函数系的正交性与周期函数的Fourier级数的概念 和性质;掌握Fourier级数收敛性判别法;能将函数展开成Fourier级数。

昆明理工大学2025年硕士研究生《633微积分》考试大纲为考生们明确了复习方向。希望考生们依据大纲的关键剖析，精心制定复习计划。对于函数部分，深入理解大纲要求的概念;对于导数和积分内容，按照大纲强化运算和应用。在复习过程中，多做典型例题，结合大纲解决遇到的难题。相信只要考生们保持对数学的热情和执着，依据大纲扎实复习，就能在考试中取得满意的成绩。

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